Consigne: Montrer que le noyau d'une forme bilinéaire est un sous-espace vectoriel

Soient \(y_1,y_2\in \ker\sigma\). Alors :$$\begin{align}\sigma(x,\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2)&=\lambda_1\sigma(x,y_1)+\lambda_2(x,y_2)\\ &=0\end{align}$$

Consigne: Montrer que si \(A\) est la matrice associée à \(\sigma\), alors $${{\ker\sigma}}={{\ker A}}$$

Double-inclusion \(\to\) sens évident avec le produit vectoriel
On procède par double-inclusion :
\(\supset\) : évident car si \(y\in\ker A\), alors \(Ay=0\) et \(\langle x\mid0\rangle=0\)

Deuxième sens également avec produit scalaire

\(\subset\) : \(y\in\ker\sigma\implies\forall x\in E,\langle x\mid Ay\rangle=0\)
Si \(x=e_i\), on a : $$\langle e_i\mid Ay\rangle=(Ay)_i=0\qquad\forall i\in\{1,\ldots,n\}$$ d'où \(Ay=0\)

Consigne: Montrer que pour tout choix de base, \(\operatorname{dim}\ker\sigma\) est constante

Formule de changement de base
Pour deux bases \(\{e_i^\prime\}^n_{i=1}\) et \(\{e_i\}^n_{i=0}\), on a la formule : $$A^\prime=C^TAC\quad\text{ avec }\quad\begin{array}{l}A^\prime\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e^\prime_i\}^n_{i=0}\\ A\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e_i\}^n_{i=0}\\ C\text{ la matrice de passage de }\{e_i\}^n_{i=0}\text{ à }\{e_i^\prime\}^n_{i=0}\end{array}$$

Si \(x\in C^{-1}(\ker A)\), alors \(C^TAy=0\)
On a $$\ker\sigma=\ker A^\prime=C^{-1}(\ker A)$$ car si \(x\in C^{-1}(\ker A)\), alors $$A^\prime(x)=C^TAC(\underbrace{C^{-1}y}_{x})=C^TAy=0$$

Déterminant de \(C\) non nul \(\Rightarrow\) \(C\) n'influe par le noyau

Si \(A^\prime x=0\), alors \(C^TAC(x)=0\), \(y=Cx\), \(x=Cy\) $$C^TAy=0\implies Ay=0\quad\text{ car }\; \operatorname{det} C^T=\operatorname{det} C\ne0$$

(Forme bilinéaire - Bilinéarité (Changement de base))

Consigne:

Changement de base
Soit \(A\) la matrice de \(\sigma\) dans la base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) et \(b\) celle dans la base \(\{v_i\}^n_{i=1}\)
Alors il existe une matrice de passage \(P\) de \(\{e_i\}^n_{i=1}\) à \(\{v_i\}^n_{i=1}\) telle que $$B=P^TAP$$

Déterminants non nuls
Alors : $$\operatorname{det} B=\underbrace{\operatorname{det} P^T}_{\ne0}\underbrace{\operatorname{det} A}_{\ne 0}\underbrace{\operatorname{det} P}_{\ne 0}$$ donc \(\operatorname{det} B\ne0\) et \(\ker B=\{0\}\)

Consigne: Trouver le noyau de $$\sigma(x,y)=\langle x\mid y\rangle$$

Trouver un vecteur \(x\) tel que \(\sigma(x,y)=0\iff y=0\)

Pour \(x=e_i\), on a \(\langle x\mid y\rangle=0\) si et seulement si \(\forall i\in\{1,\ldots,n\},y_i=0\)
Donc \(\sigma\) est non dégénérée

Consigne: Trouver le noyau de $$\sigma(f,g)=\int^1_0f(x)g(x)\,dx,\quad\text{ avec }\quad f,g\text{ continues sur }[0,1]$$

Vecteur particulier
Soit \(f=g\)
Alors \(\sigma(f,g)=\int^1_0g^2(x)\,dx=0\)

Si l'intégrale est égale à \(0\), alors \(g\equiv0\) par des théorèmes d'analyse

On affirme que \(g\equiv0\) sur \([0,1]\)
Sinon \(\exists x_0\in[0,1],g^2(x_0)\gt 0\)
Par la continuité de \(g\), \(\exists\delta\gt 0,\forall x\in\,[x_0-\delta,x_0+\delta]\) car \(g^2(x)\geqslant C\gt 0\) \(\forall x\in\,[x_0-\delta,x_0+\delta]\)

Consigne: Soit \(\alpha:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) définie comme ceci : $$\alpha(x,y)=x_1y_1-x_3y_3+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2$$
Déterminer \(\ker\alpha\)

Forme bilinéaire \(\to\) donner la matrice
\(\alpha\) est une forme bilinéaire et sa matrice est $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$$ on a \(A=A^T\), donc \(\alpha\) est symétrique

Chercher le noyau via l'algorithme du compagnon

$$\begin{align}\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}&\iff\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&1&0\\ -1&0&1\end{pmatrix}&&c_1\gets c_1-c_2-c_3\end{align}$$
Le vecteur \(v=\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\) engendre donc \(\ker\alpha=\ker A\)

Consigne: Soit \(\sigma:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire donc la matrice dans une base est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$$
Trouver \(\ker\sigma\)

Algorithme du compagnon sur la matrice

On a \(\ker\sigma=\ker A\) et on a : $$\begin{align}\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}&\iff\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&-1&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}&&c_2\gets c_2-c_1\\ &\iff\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&0&1\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}&&c_1\gets c_1-c_2\end{align}$$ \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\) sont indépendants, donc \(\ker\sigma=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\) d'après l'algorithme du compagnon

(Matrice augmentée - Algorithme du compagnon)